Géométrie 5ᵉ — Figures planes
Dans ce chapitre nous étudions : droites, segments, angles, triangles, quadrilatères, leurs propriétés (isocèle, équilatéral, rectangle, parallélogramme) et les constructions à la règle, à l’équerre et au compas. Les explications sont détaillées, illustrées et accompagnées d’exercices corrigés.
1. Droites, segments et demi-droites
1.1 Définitions
- Droite : ensemble infini de points alignés dans les deux sens. On la note souvent par deux points qui lui appartiennent, par exemple
(AB). - Segment : portion de droite limitée par deux points A et B ; il contient tous les points entre A et B. On le note
[AB]. - Demi-droite : portion de droite qui commence en un point (origine) et s’étend indéfiniment dans une direction ; on la note
[AB)(origine A passant par B).
1.2 Illustration (SVG)
1.3 Propriétés utiles
- La distance entre deux points A et B est notée
ABou |AB|. - Pour tracer un segment [AB] on place A et B puis on trace la portion entre eux.
2. Angles
2.1 Définition et vocabulaire
Un angle est formé par deux demi-droites de même origine (sommet). Exemple : l’angle ˆBAC est formé par les demi-droites [AB) et [AC), sommet A.
- Angle aigu : entre 0° et 90°.
- Angle droit : 90° (symbole ⟂).
- Angle obtus : entre 90° et 180°.
- Angle plat : 180° (demi-droite opposée).
2.2 Illustration (SVG)
2.3 Mesurer un angle
On mesure les angles avec un rapporteur. On place le centre du rapporteur sur le sommet, l’axe 0° sur une demi-droite et on lit la valeur sur l’autre demi-droite.
3. Triangles
3.1 Classification selon les côtés
- Triangle équilatéral : trois côtés égaux ; trois angles égaux (60° chacun).
- Triangle isocèle : au moins deux côtés égaux ; les angles à la base sont égaux.
- Triangle scalène : trois côtés de longueurs différentes.
3.2 Classification selon les angles
- Triangle rectangle : un angle droit (Thalès/Pythagore étudiés plus loin).
- Un triangle peut être à la fois isocèle et rectangle (oui : isocèle rectangle).
3.3 Propriétés importantes
- La somme des angles d’un triangle = 180°.
- Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice et bissectrice.
- Dans un triangle équilatéral, toutes les hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices concourent au même point (centre).
3.4 Illustrations (SVG)
4. Quadrilatères
4.1 Définitions et classification
- Quadrilatère : polygon à 4 côtés.
- Types courants : parallélogramme, rectangle, losange, carré, trapèze (selon propriétés des côtés/angles).
4.2 Propriétés essentielles
- Parallélogramme : deux paires de côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales se coupent au milieu.
- Rectangle : parallélogramme avec quatre angles droits ; diagonales égales.
- Losange : parallélogramme avec quatre côtés égaux ; diagonales perpendiculaires.
- Carré : rectangle + losange (quatre côtés égaux et quatre angles droits).
4.3 Illustration (SVG)
AB ∥ CD et AB = CD.
5. Constructions à la règle, à l’équerre et au compas
5.1 Instruments et règles de base
- Règle non graduée : tracer des droites et segments.
- Équerre : tracer des angles droits et des parallèles/perpendiculaires.
- Compas : tracer des cercles, reporter des distances, construire médiatrices et bissectrices.
5.2 Constructions élémentaires (pas à pas)
a) Tracer la médiatrice d’un segment [AB]
- Placer la pointe du compas sur A, tracer un arc de rayon > AB/2.
- Sans changer l’ouverture, tracer un arc symétrique depuis B ; les deux arcs se coupent en deux points X et Y.
- Tracer la droite (XY) : c’est la médiatrice de [AB] (elle coupe [AB] en son milieu et est perpendiculaire à [AB]).
b) Tracer une perpendiculaire à une droite (par un point extérieur)
- Depuis le point P, tracer un arc qui coupe la droite en deux points.
- Construire la médiatrice du segment déterminé par ces deux intersections ; elle passe par P et est perpendiculaire à la droite initiale.
c) Tracer une parallèle (méthode par report)
- Par le point P, tracer un angle égal à l’angle formé par la droite de référence et la ligne joignant un point particulier : technique avec équerre ou compas.
- Ou : reporter une distance égale et utiliser la propriété des angles alternes-internes (méthode avec équerre).
6. Exercices progressifs & corrigés
Exercice 6 (niveau facile)
- Trace un segment [MN] de 8 cm. Construis sa médiatrice.
- Trace une demi-droite [MP) et place un point Q tel que MQ = 5 cm ; trace l’angle
ˆQMPet mesure-le.
Exercice 7 (niveau intermédiaire)
- Construis un triangle ABC rectangle en B avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. Calcule et trace l’hypoténuse AC (construction et mesure).
- Trace la hauteur issue de A et vérifie qu’elle est perpendiculaire à BC.
Exercice 8 (niveau+ : propriétés)
- Dans un parallélogramme ABCD, on sait AB = 6 cm et AD = 4 cm. Construis ABCD et trace les diagonales. Vérifie que les diagonales se coupent au milieu.
- Construis un losange de côté 5 cm. Trace ses diagonales et montre qu’elles sont perpendiculaires.
Corrigés (cliquer pour dérouler)
Corrigé Ex.6
1) Trace [MN] = 8 cm. Avec compas ouvert à plus de 4 cm, arcs depuis M et N; les intersections définissent la médiatrice. La médiatrice coupe [MN] en son milieu (4 cm de chaque côté).
2) [MP) : trace une demi-droite. Depuis M reporte MQ=5 cm avec le compas et place Q sur la demi-droite. L’angle ˆQMP dépend de ta construction ; mesure avec rapporteur.
Corrigé Ex.7
1) Triangle rectangle : placer B, tracer AB = 6 cm horizontalement, puis à partir de B tracer BC = 8 cm verticalement ; joindre A et C → AC mesuré ≈ 10 cm (théorème de Pythagore : 6²+8²=36+64=100 → AC=10).
2) Hauteur issue de A : tracer la perpendiculaire à BC passant par A ; elle rencontre BC en H. Vérifier que AH ⟂ BC avec l’équerre.
Corrigé Ex.8
1) Parallélogramme : construire vecteur AB puis reporter AD selon la longueur et direction ; joindre pour fermer ABCD. Les diagonales AC et BD se coupent au milieu : mesurer les distances et constater l’égalité.
2) Losange côté 5 cm : tracer deux côtés égaux et compléter. Diagonales tracées ; elles se rencontrent perpendiculairement (vérifier avec l’équerre et mesurer les angles).
7. Rappels / Encarts utiles
| Figure | Propriétés principales |
|---|---|
| Segment [AB] | Limité par A et B ; longueur AB |
| Triangle équilatéral | 3 côtés égaux ; 3 angles de 60° |
| Triangle isocèle | 2 côtés égaux ; 2 angles à la base égaux |
| Parallélogramme | Côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales se coupent au milieu |
| Rectangle | 4 angles droits ; parallélogramme particulier |
| Losange | 4 côtés égaux ; diagonales perpendiculaires |